Мода медиана и среднее значение выборки. Структурные средние величины. Определение моды и медианы по несгруппированным данным

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых.

Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.

Пример : Найдем среднее арифметическое чисел 2, 6, 9, 15.

Решение. У нас четыре числа. Значит, надо их сумму разделить на 4. Это и будет среднее арифметическое данных чисел:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Среднее геометрическое ряда чисел – это корень n-й степени из произведения этих чисел.

Пример : Найдем среднее геометрическое чисел 2, 4, 8.

Решение. У нас три числа. Значит, надо найти корень третьей степени из их произведения. Это и будет среднее геометрическое данных чисел:

3 √ 2 · 4 · 8 = 3 √64 = 4

Размах рядачисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример : Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение : Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет 31:

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример : Найти моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Решение : Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Медиана.

В упорядоченном ряде чисел:

Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине.

Пример : В ряде чисел 2, 5, 9, 15, 21 медианой является число 9, находящееся посередине.

Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.

Пример : Найти медиану чисел 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Решение : Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:

(7 + 11) : 2 = 9.

Число 9 и является медианой данного ряда чисел.

В неупорядоченном ряде чисел:

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Пример 1 : Найдем медиану произвольного ряда чисел 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Решение : Располагаем числа в порядке возрастания:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

Посередине оказывается число 17. Оно и является медианой данного ряда чисел.

Пример 2 : Добавим к нашему произвольному ряду чисел еще одно число, чтобы ряд стал четным, и найдем медиану:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Решение : Снова выстраиваем упорядоченный ряд:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

Посередине оказались числа 17 и 19. Находим их среднее значение:

(17 + 19) : 2 = 18.

Число 18 и является медианой данного ряда чисел.

Цели: дать понятия, алгоритмы нахождения среднего арифметического и медианы, размаха и моды ряда чисел, показать значимость этой темы в практической деятельности человека; приобретение практических навыков выполнения этих заданий; повышение уровня математической подготовки, предъявляемой новыми стандартами.

• вооружить учащихся системой знаний по теме "Определение вероятности событий, среднего арифметического и медианы набора чисел";
• сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
• подготовить учащихся к сдаче ГИА;
• сформировать навыки самостоятельной работы.

Ход урока

1. Теоретическая часть.

1). Нахождение вероятности событий.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определенные эксперименты.

В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями , т. е. такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, поражение мишени или промах при выстреле, выигрыш спортивной команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат- все это случайные события.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей . Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то, или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами.

Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить вероятность этого события.

Например, бросание игрального кубика. При бросании кубика шансы выпадения на его верхней грани каждого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1,2,3,4,5, и 6 очков.

Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.

Схема нахождения вероятности события.

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:

• найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;
• найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в которых наступает событие А;
• найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A

Например: 1 . В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?

Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20

Благоприятные исходы-7

2. В коробке лежит 5 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки черный шар была не больше 0,15?

Решение: Пусть x-белые шары.

2) Определение и нахождение среднего арифметического и медианы ряда чисел.

Определение: средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Среднее арифметическое набора чисел x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 принято обозначать x.

Например, среднее арифметическое пяти чисел запишется так:

X = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5)/5

Пример: найти среднюю оценку учащегося по математике, если за истекший период он получил: 3,4,4,5,3,2,4,3.

Решение: (3+4+4+5+3+2+4+3)/8=3,5

Определение: медианой называется число, разделяющее набор чисел на две части, равные по численности, так что с одной стороны от этого числа все значения больше медианы, а с другой меньше. Вместо "медиана" можно было бы сказать середина.

Схема нахождения медианы набора чисел:

Для нахождения медианы набора чисел следует:

• упорядочить числовой набор (записать в порядке возрастания);
• одновременно зачеркиваем "самое большое" и "самое маленькое" числа данного набора чисел до тех пор, пока не останется одно число или два числа;
• если останется одно число, то оно и есть медиана (для нечетного набора чисел);
• если останется два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел (для четного набора чисел).

Медиану принято обозначать буквой М.

Пример: найти медиану набора чисел: 9,3,1,5,7.

Решение: запишем числа в порядке возрастания: 1,3,5,7,9.

Вычеркнем 1 и 9, 3 и 7. Оставшееся число 5 и есть медиана. М=5

Пример: найти медиану набора чисел 2,3,3,5,7,10.

Решение: вычеркнем 2 и 10, 3 и 7. Для нахождения М нужно: (3+5)/2= 4. М=4

Определение и нахождение размаха и моды.

Определение: размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Определение: модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.

Пример: На уроке физкультуры 14 школьников прыгали в высоту, а учитель записывал их результаты. Получился такой ряд данных (в см):

125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.

Найти медиану, размах и моду измерения.

Решение: выпишем все варианты измерения в порядке возрастания, разделяя пробелами группы одинаковых результатов:

110, 110, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 130, 130, 130, 140.

Размах измерения равен 140-110=30.

125-встретилось наибольшее число раз, т. е. 5 раз; это мода измерения.

2. Практическая часть.

1). Задачи для самостоятельного решения на теорию вероятностей.

1. На 100 электрических лампочек в среднем приходится 4 бракованных. Какова вероятность, что взятая наугад лампочка окажется исправной? Ответ: 0,96.

2. На 400 компакт-дисков в среднем приходится 8 бракованных. Какова вероятность, что взятый наугад компакт-диск окажется исправным? Ответ: 0,98.

3. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 точек из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка окажется окрашенной? Ответ: 0,6.

4. Из слова "математика" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква встречается в этом слове только 1 раз? Ответ: 0,3.

5. Из слова "аттестация" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква окажется буквой "а"? Ответ: 0,2

6. Из 30девятиклассников 4 выбрали экзамен по физике, 12 - по обществознанию, 8- по иностранному языку, а остальные по литературе. Какова вероятность, что выбранный ученик будет сдавать экзамен по литературе. Ответ: 0,2.

7. Контрольная работа по математике состоит из 15 задач: 4 задачи по геометрии, 2 задачи по теории вероятностей, остальные по алгебре. Ученик ошибся в одной задаче. Какова вероятность, что ученик ошибся в задаче по алгебре? Ответ: 0,6.

8. На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009 г. г., 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить неисправную машину? Ответ: 0,15.

9. В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: 3 гимнастки из России, 3 гимнастки из Украины и 4 гимнастки из Белоруссии. Порядок выступления определятся жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России. Ответ 0,3

10. На чемпионате по художественной гимнастике выступает 18 гимнасток, среди них 3 гимнастки из России, 2 гимнастки из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последней будет выступать гимнастка или из России, или из Китая? Ответ: 5/18.

11. Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию 1 дежурного. Какова вероятность того, что это будет мальчик? Ответ: 0,6.

12. Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут 2 решки? Ответ 0,25.

2) Задачи на нахождение среднего арифметического и медианы, размаха и моды набора чисел.

Фрезеровщики бригады затратили на обработку одной детали разное время (в мин.), представленное в виде ряда данных: 40; 37; 35; 36; 32; 42; 32; 38; 32. На сколько медиана этого набора отличается от среднего арифметического? Ответ: 0.

В саду посадили 5 саженцев яблони, высота которых в сантиметрах следующая: 168, 13, 156, 165, 144. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 3, 8

Растущие в саду 6 деревьев груши дали урожай, масса которого (в кг) для каждого из деревьев следующая: 29, 35, 26, 28, 32, 36. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 0,5

Время обслуживания кассиром каждого из нескольких покупателей магазина образовало следующий ряд данных: 2 мин. 42 сек., 3мин. 2 сек., 3 имн. 7сек., 2 мин. 54 сек., 2 мин. 48 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 2 мин. 55 сек., 2 мин. 54 сек.

Время между семью звонками, поступившими в службу такси образовало следующий ряд данных: 34 сек., 45 сек., 1 мин. 16 сек., 38 сек., 43 сек., 52 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 48 сек., 44 сек.

Литература: Мордкович, А. Г. ,И. М. Смирновой. Учебнок для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2009. - 164 с.

Макарычев Ю. Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Под ред. С. А. Теляковского - М.: Просвещение. - 2003.

Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. - 2004. - №5.

Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. - 2004. - №7.

Мордкович А. Г, Семенов П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.

О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В. А. Болотов // Математика в школе - 2003. - №9.

Ткачева М. В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. - М.: Просвещение, 2004.

Федосеев В. Н. Элементы теории вероятностей для 7-9 классов средней школы / Математика в школе. -2002, №3

Студенецкая В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7-9 классы, Волгоград, Учитель, 2009.

Слепнев Павел

В курсе алгебры 7 класса в учебнике под редакцией Теляковского предлагается материал из статистики "Среднее арифметическое, размах и мода". Учащийся в своей работе предлагает примеры для рассмотрения этой темы, которые предложили его одноклассники.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МУ Отдел образования МО «Тарбагатайский район»

МБОУ «Заводская ООШ»

«Среднее арифметическое, размах и мода»

Выполнил: Слепнев Павел, ученик 7 класса

Научный руководитель:

Улаханова Марина Родионовна,

учитель математики

2012 год

Введение Стр. 3

Основная часть Стр.4-9

Теория вопроса Стр.4-6

Мини-проекты Стр.7-9

Заключение Стр.9

Список литературы Стр.10

Введение

Актуальность

В этом учебном году мы начали изучать два предмета: алгебру и геометрию. При изучении алгебры что-то мне знакомо из курса 5,6 классов, что-то мы изучаем более основательно и углубленно, многое узнаем нового. Вот новое для меня при изучении алгебры – это знакомство с некоторыми статистическими характеристиками: размах и мода. Со средним арифметическим мы встречались уже ранее. Еще интересным оказалось, что эти характеристики применяются не только на уроках математики, но и в жизни, на практике (в производстве, в сельском хозяйстве, в спорте и т.д.).

Постановка проблемы

Когда мы в классе на уроке решали задачи к этому пункту, то возникла идея составить самим задачи и подготовить к ним презентации, то есть как бы начать создавать свой задачник. Каждый придумывает задачу, делает к ней презентацию, как бы каждый работает над своим мини-проектом, а на уроке все вместе решаем, обсуждаем. Если допущены ошибки, то их исправляем. А в конце провести публичную защиту этих мини-проектов.

Цель моей работы: изучение статистики.

Задачи: начать разработку задачника по статистике в виде компьютерных презентаций.

Предмет исследования: статистика.

Объект исследования: статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Методы исследования:

1. Изучение литературы по данной теме.
2. Анализ данных.
3. Использование Интернет-ресурсов.
4. Использование программы Power Point.
5. Обобщение собранных материалов по данной теме.

Основная часть.

Теория вопроса

В ходе изучения раздела «Статистические характеристики» мы познакомились с такими понятиями: среднее арифметическое, размах, мода. Эти характеристики находят применение в статистике. Эта наука изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т.п.

“Статистика знает всё”, – утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе “Двенадцать стульев” и продолжали: “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..” Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий.

Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).

А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.

В школьном курсе алгебры мы рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

Статистические характеристики в наше время встречаются везде. Например, перепись населения. Благодаря этой переписи, государство узнает сколько нужно денег на строительство жилья, школ, больниц, сколько людей нуждаются в жилье, сколько детей в семье, количество безработных, уровень зарплаты и т.д. Результаты этой переписи сравнят с прошлой, посмотрят поднялась ли страна за это время или положение стало хуже, можно будет сравнить данные с результатами в других странах. В промышленности большое значение имеет мода. Например, товар, который имеет большой спрос - будут всегда продавать, а фабрики будут иметь большие деньги. И таких примеров множество.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Определение 1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пример: При изучении учебной нагрузки выделили группу из 12 учащихся 7 класса. Просили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и полученную сумму разделить

на 12: ==27.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Определение 2. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример: При анализе сведений о времени, затраченном учащимися на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут заинтересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Например, интересно знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что в нашем примере это число 25. говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа – менее трех раз.

В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода-показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода - наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

Определение 3. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример: В рассмотренном выше примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако анализ проведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. Вот в этом случае рассматривается еще одна статистическая характеристика – размах. Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Мини-проекты

А теперь хочу представить результаты нашей работы: мини-проекты для создания задачника по статистике.

Я работаю в салоне-магазине «Супер-авто» главным менеджером отдела продаж. Наш салон предоставлял автомобили для участия в игре «полный привод». В прошлом году на выставке-продаже наши машины имели успех! Результаты продаж следующие:

Продано машин в первый день	Продано машин во второй день	Продано машин в третий день	Продано машин в четвертый день	Продано машин в пятый день

Отделу продаж необходимо подвести итоги выставки:

1. Сколько в среднем продавалось машин в день?
2. Каков разброс количества машин за период выставки-продажи?
3. Сколько чаще всего продавалось машин в день?

Ответ: в среднем было продано по 150 машин в день, разброс количества проданных машин составил – 150, в день чаще всего продавалось 100 машин.

Я, Анастасия Волочкова, была приглашена в жюри на финал конкурса «Лёд и пламя». Конкурс проходил в городе Санкт –Петербурге. В финал вышли три пары самых сильных фигуристов: 1пара. Батуева Алина и Хлебодаров Кирилл, 2 пара. Селянская Юлия и Кушнарев Павел, 3пара. Заиграева Анастасия и Афанасьев Дмитрий. Жюри: Анастасия Волочкова, Елена Малышева, Алексей Далматов. Жюри выставили следующие оценки:

Найдите среднее арифметическое, размах моду в рядах оценок каждой пары.

Ответ:

Итоги	Среднее арифметическое	Размах	Мода
1 пара	5.43
2 пара	5.27
3 пара	5.23		нет

В этом году я побывала в г. Санкт-Петербург на соревнованиях по бальным танцам. В конкурсе принимали участие три красивые пары: Сушенцова Елена и Хлебодаров Кирилл, Батуева Алина и Слепнев Павел, Джаниашвили Виктория и Ткачев Валерий.

За выступления пары получили следующие оценки:

Найти среднюю оценку, размах и моду.

Ответ:

Пары	Среднее арифметическое	Размах	Мода
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Я директор магазина модной одежды и аксессуаров «Fashion». Магазин приносит хорошую прибыль. Показатели продаж за прошлый год:

915т.р.	1млн 150т.р.	1 млн. 980т.р.	2 млн. 3т.р.	2 млн. 950т.р.	3 млн. 950т.р.	3 млн. 100т.р.	2 млн. 950т.р.	3 млн.	3 млн. 750т.р.	2млн. 950т.р.	4 млн. 250т.р.

Первые 2-3 месяца прибыль доходила до 2 миллионов за месяц. Уже после прибыль возрастала до 4 миллионов. Самыми удачными месяцами были: декабрь и май. В мае в основном покупали платья для выпускных баллов, а в декабре для новогоднего торжества.

Вопрос моему главному бухгалтеру: каковы результаты нашей работы за год?

Ответ:

Среднее арифметическое	2 745 000 руб
Размах	4 158 500 руб
Мода	2 950 000 руб

Мы организовали тюнинг-мастерскую «Turbo». За первую неделю нашей работы мы заработали: в первый день – 120 000 $, во второй день – 350 000 $, в третий день – 99 000$, в четвертый день – 120 00$. Подсчитайте каков наш средний доход в день, коков разрыв между наибольшим и наименьшим заработком и какая сумма чаще повторяется?

Ответ: среднее арифметическое – 172 250 $, размах – 251 000 $, мода – 120 000 $.

Заключение

В заключении я хочу сказать, что мне нравится эта тема. Статистические характеристики очень удобны, их можно применять везде. В общем, они сравнивают, стремятся к прогрессу и помогают узнать мнение народа. В ходе работы над этой темой я познакомился с наукой статистикой, узнал некоторые понятия (среднее арифметическое, размах и мода), где эта наука может быть применима, расширил свои познания и в информатике. Я, думаю, что наши задачки как примеры для освоения этих понятий пригодятся и другим! Будем продолжать знакомство в этой наукой и создавать свои задачки!

Вот и закончилось мое путешествие в мир математики, информатики и статистики. Но я, думаю, что не последнее. Я еще многое хочу познать! Как сказал Галилео Галилей: «Природа формулирует свои законы языком математики». И я хочу овладеть этим языком!

Список литературы

1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. « Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы», М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра, 7 класс», М: «Просвещение», 2009
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. « Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей», 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2005.

Рецензия

Предметом исследования учащегося является статистика.

Объектом исследования – статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Ученик для ознакомления с теорией вопроса изучил научные источники, Интернет-ресурсы.

Выбранная тема актуальна для учащегося, проявляющего интерес к математике, информатике, статистике. Для его возраста проанализирован достаточный материал, произведен отбор данных, обобщен. Учащийся достаточно владеет ИКТ.

Работа оформлена в соответствии с требованиями.

В конце исследования сделан вывод, представлен практический продукт: презентации задач по статистике. Радует, что человек так увлечен математикой.

Научный руководитель: Улаханова МР,

учитель математики

Дата проведения __________

Тема урока: Среднее арифметическое, размах и мода.

Цели урока: повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах и мода, формировать умение находить средние статистические характеристики различных рядов; развить логическое мышление, память и внимание; воспитать в детях исполнительность, дисциплинированность, усидчивость, аккуратность; развить в детях интерес к математике.

Ход урока

Организация класса

Повторение ( Уравнение и его корни)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение:

6х + 5 =23 -3х 2(х - 5) + 3х =11 -2х 3х - (х - 5) =14 -2х

Актуализация знаний повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Статистика - это наука, занимающаяся сбором, обработкой, анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Среднее арифметическое - это сумма всех чисел разделенная на их количество. (Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.)

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Слово статистика переводится с латинского языка status- состояние, положение вещей.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Усвоение нового материала

Задание №1: 12 семиклассников попросили отметить время (в минутах) затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Сколько минут в среднем учащиеся потратили на выполнение домашнего задания?

Решение: 1) найдем среднее арифметическое:

2) найдем размах ряда: 37-18=19 (мин)

3) мода 25.

Задание №2: В городе Счастливом ежедневно измеряли в 18 00 температуру воздуха (в градусах Цельсия в течении 10 дней в результате чего была заполнена таблица:

Т ср = 0 С,

Размах = 25-13=12 0 С,

Задание №3: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет: 33 – 2 = 31.

Задание №4: Найдите моду ряда распределения:

а) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (мода 23);

б) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (моды: 22 и 26);

в) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (моды нет).

Задание №5 : Найти среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Решение: 1) Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Решение упражнений

А) Найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду ряда чисел:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

Б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел.

В) В ряду чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Г) Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5. Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей.

Подведение итогов

Что такое среднее арифметическое? Мода? Медиана? Размах?

Домашнее задание:

№164(задание на повторение), стр36-39 читать

№167(а,б), №177, 179

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определённый день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определённый день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Среднее арифметическое ряда. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.():12=27

Размах ряда. Размахом ряда называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Размахом ряда называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Наибольший расход времени равен 37 мин, а наименьший – 18 мин. Найдём размах ряда: 37 – 18 = 19(мин)

Мода ряда. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других. Модой нашего ряда является число – 25. Модой нашего ряда является число – 25. Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – две моды 47 и 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63,73,72 – моды нет.

Среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п. Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п.

1. Найдите среднее арифметическое и размах ряда чисел: а) 24,22,27,20,16,37; б)30,5,23,5,28, Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел: а)32,26,18,26,15,21,26; б)-21,-33,-35,-19,-20,-22; б)-21,-33,-35,-19,-20,-22; в) 61,64,64,83,61,71,70; в) 61,64,64,83,61,71,70; г) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. г) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, В ряду чисел 3, 8, 15, 30, __, 24 пропущено одно число, Найдите его, если: а) среднее арифметическое ряда равно 18; а) среднее арифметическое ряда равно 18; б) размах ряда равен 40; б) размах ряда равен 40; в) мода ряда равна 24. в) мода ряда равна 24.

4. В аттестате о среднем образовании у четырёх друзей – выпускников школы – оказались следующие оценки: Ильин: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Ильин: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Семёнов: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Семёнов: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Попов: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Попов: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Романов: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Романов: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. С каким средним баллом окончил школу каждый из этих выпускников? Укажите наиболее типичную для каждого из них оценку в аттестате. Какие статистические характеристики вы использовали при ответе? С каким средним баллом окончил школу каждый из этих выпускников? Укажите наиболее типичную для каждого из них оценку в аттестате. Какие статистические характеристики вы использовали при ответе?

Самостоятельная работа Вариант 1. Вариант Дан ряд чисел: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Найдите среднее арифметическое, размах и моду рада. 2. В ряду чисел 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 пропущено одно число. пропущено одно число. Найдите его, если: Найдите его, если: а) среднее арифметичес- а) среднее арифметичес- кое равно 19; кое равно 19; б) размах ряда – 41. б) размах ряда – 41. Вариант Дан ряд чисел: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Найдите среднее арифметическое, размах и моду рада. 2. В ряду чисел 5, 10, 17, 32, _, 26 пропущено одно число. Найдите его, если: а) среднее арифметичес- кое равно 19; б) размах ряда – 41.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом чисел называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом чисел называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом чисел называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом чисел называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир: В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир: Номерквартиры Расходэлектро-энергии

Составим упорядоченный ряд: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, – медиана данного ряда. 78 – медиана данного ряда. Дан упорядоченный ряд: Дан упорядоченный ряд: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – медиана. ():2 = 80 – медиана.

1. Найдите медиану ряда чисел: а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; в) 16, 18, 20, 22, 24, 26; в) 16, 18, 20, 22, 24, 26; г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. г) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. 2. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел: а) 27, 29, 23, 31,21,34; а) 27, 29, 23, 31,21,34; б) 56, 58, 64, 66, 62, 74; б) 56, 58, 64, 66, 62, 74; в) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; в) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; г) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. г) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели: Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели число посетителей выставки было больше медианы? Днинедели Пн Пн Вт Вт Ср Ср Чт Чт Пт Пт Сб Сб Вс Вс Число посетите лей

4.Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс.ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона: (в тыс.ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17,8. 14, 2, 17,8. Для представленного ряда найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану. Для представленного ряда найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану. 5. В организации вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили такой ряд данных: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Для представленного ряда найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану. Для представленного ряда найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану.

Домашнее задание. На соревнованиях по фигурному катанию выступление спортсмена было оценено следующими баллами: На соревнованиях по фигурному катанию выступление спортсмена было оценено следующими баллами: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду.