Сенсация вокруг теоремы ферма оказалась недоразумением. Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса и Перельмана, формулы, правила расчета и полное доказательство теоремы Лавры Ферма достались японцам

Теорема Ферма дразнила математиков более трех веков, хотя она проста на вид, а сам Ферма уверял, что знает, как ее доказать, одна беда - места не хватает записать. Доказать проклятую теорему удалось ученому из Принстона Эндрю Уайлсу около 10 лет назад. «Чердак» вспоминает историю, пожалуй, самого знаменитого доказательства в истории математики.

Уайлсу потребовались годы работы и знание самых современных разделов математики. Недавно он получил за это достижение премию, которую называют Нобелевкой для математиков. При этом формулировка теоремы Ферма крайне проста: она утверждает, что нет таких целых значений x , y и z , для которых бы выполнялось равенство x n +y n =z n при n больше 2. Эту теорему сформулировал французский математик Пьер де Ферма в XVII веке. Читая «Арифметику» Диофанта, он записал уравнение на полях, в той части книги, где речь шла о теореме Пифагора.

Заметки на полях

Теорема Пифагора известна каждому, кто в школе хотя бы иногда не прогуливал математику: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Теорема была доказана, как можно догадаться, Пифагором, а уже его ученики доказали, что существует бесконечное множество так называемых пифагорейских троек - целых чисел, для которых выполняется условие x 2 +y 2 =z 2 . Например, 3 2 +4 2 =5 2 или 99 2 +4900 2 =4901 2 .

Ферма задался вопросом: а что если вместо квадратов в формуле будут кубы: x 3 +y 3 =z 3 ? Можно ли для такого равенства найти красивые тройки целых чисел? А если в показателе степени будет стоять 4? А если 5? Ферма утверждал, что если показатель степени больше двух, то таких троек целых чисел не существует. Рядом с формулировкой теоремы Ферма оставил коварную запись: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». В чем заключалось это доказательство, он так никому и не сообщил.

В обычной жизни Ферма был крупным провинциальным чиновником, а наукой занимался в свободное от работы время. В то время среди математиков было не очень-то принято делиться с коллегами своими результатами. Ферма же выделялся особенной замкнутостью даже среди коллег: он мало с кем обсуждал свои идеи, а когда ему удавалось найти интересное решение сложной математической задачи, он развлекался тем, что отправлял товарищам-математикам формулировки этих задач, но не их решения. Публиковать свои математические выкладки он тоже не стремился.

Французский чиновник и математик Пьер де Ферма

Знаменитая теорема не канула в Лету вместе с другими открытиями Ферма лишь благодаря тому, что старший сын эксцентричного ученого-любителя после смерти отца взялся опубликовать все его отрывочные заметки. В них обнаружилось множество интересных и важных для математики теорем - часто без доказательств или лишь с набросками таковых. С тех пор все они были доказаны, и только уравнение, известное теперь как теорема Ферма, упорно не поддавалось.

Загадка на века

Простота формулировки и замечание, оставленное Ферма по поводу доказательства теоремы, дразнили профессионалов и любителей математики на протяжении веков. Ведь Ферма располагал теми же знаниями, что и его современники, значит, для доказательства теоремы требовалось лишь сделать какой-то необычный ход.

В истории попыток доказать, что «нужных» троек целых чисел не существует, порой случались небольшие прорывы. Так, через сто лет после Ферма Леонарду Эйлеру удалось доказать, что теорема верна при n =3. Другие математики доказали теорему для еще нескольких частных случаев или же намечали возможные подступы к решению задачи. Во второй половине XX века стали доступны компьютеры и математикам удалось показать, что теорема Ферма верна при значениях n от 2 до 500, затем счет пошел на тысячи, затем на миллионы, однако все это по-прежнему не означало, что утверждение Ферма верно для любых значений n .

Дело жизни

Таково было положение дел, когда о теореме впервые узнал десятилетний Эндрю Уайлс. Он загорелся идеей доказать ее, и эта мысль не оставляла ученого на протяжении всей математической карьеры.

Во второй половине 1980-х годов Уайлс полностью сосредоточился на теореме Ферма. Он продолжал преподавать в Принстонском университете, но отказался от участия в конференциях и любой другой публичной деятельности. Уайлс никому не рассказывал о своей цели: во-первых, ему не хотелось тратить время на обсуждения, во-вторых, в случае успеха слава досталась бы ему одному. А в третьих, его могли просто не принять всерьез - уж больно много чудаков и сумасшедших покушалось до него на доказательство великой теоремы. Он понимал, что ему потребуются годы работы и боялся, что, если он будет рассказывать о своей работе, в последний момент решающий шаг сделает кто-то другой. Для того чтобы не вызывать подозрений, Уайлс воспользовался одним из своих исследований, посвященных эллиптическим кривым. Оно было завершено, но математик публиковал его по кусочкам, притворяясь, что продолжает свои исследования в этой области. В тайну своей настоящей работы Уайлс посвятил только жену, и многие коллеги ученого начали считать, что его «исчезновение» связано с тем, что бедняга исчерпал свой математический талант.

Эндрю Уайлс у памятника Пьеру де Ферма. Фото: Klaus Barner/Wikipedia

В 1988 году, когда Уайлс вовсю работал над своим доказательством, японский математик Иоичи Мияока заявил, что ему удалось «взломать» теорему Ферма. Математики всего мира принялись изучать выкладки Мияоки и, к несчастью для него, в рассуждениях обнаружились серьезные пробелы, так что Уайлс продолжил работу.

Однако к 1991 году математик перебрал все доступные ему инструменты, а теорема Ферма все еще не поддавалась. Уайлсу пришлось прервать отшельничество, чтобы пообщаться с коллегами и выяснить, нет ли у тех каких-нибудь новых идей, полезных для его работы. И такие идеи нашлись - работа Уайлса сдвинулась с мертвой точки, и он уже предвидел успех, однако математику нужно было проверить все созданные выкладки. Уайлсу требовался эксперт, владеющий всеми тонкостями использованных им методов, однако это означало, что этого человека придется посвятить в свой замысел. И Уайлс доверился своему коллеге в Принстоне Нику Катцу.

Эксперту предстояло разобраться в работе, которую Уайлс вел в течение нескольких лет. Подступиться к такому объему материала было непросто, и Уайлс с Катцом нашли изящный выход. Уайлс объявил курс лекций для аспирантов с весьма расплывчатым названием «Вычисления по поводу эллиптических кривых». На лекциях Уайлс детально излагал ту часть доказательства, в которой он не был уверен и которая нуждалась в проверке. Только Катц знал, к чему все эти выкладки, для всех остальных слушателей это был просто курс лекций, причем крайне сложный, очень детальный и не очень понятно, к чему применимый. Постепенно слушатели разбежались, и в конце концов в аудитории на лекциях присутствовали лишь сами Уайлс и Катц.

Теорема доказана...

Проверка позволила убедиться, что в доказательстве Уайлса нет пробелов. В 1993 году он был уверен, что в его работе все верно. Ученый представил результат своих трудов на крупном математическом симпозиуме в Кембридже в конце июня 1993 года.

Весть о том, что теорема Ферма доказана, наделала много шуму. Тем более что для завершения работы Уайлсу потребовалось сначала доказать так называемую гипотезу Таниямы-Шимуры. Для математиков она не менее, а может быть даже более важна, чем собственно теорема Ферма, так как позволяет установить связь между разделами математики, ранее казавшимися крайне далекими друг от друга. В прессе поднялась шумиха, и Уайлс стал знаменитостью.

...или все-таки нет?

Он отправил свое доказательство для публикации в научный журнал, и шестеро рецензентов принялись за тщательную проверку его выкладок, занимавших 200 страниц. Одна из частей доказательства попала на проверку Катцу. С большинством вопросов, возникающих у рецензентов, Уайлс легко справлялся, однако у Катца возник небольшой вопрос, на который автор доказательства не смог сразу ответить. И чем больше он углублялся в разъяснения, тем очевиднее становилось, что речь идет не о небольшой ошибке, а о серьезной проблеме, пропущенной Катцом и Уайлсом, даже несмотря на устроенный ими курс лекций именно по самой «проблемной» части доказательства.

Уайлс надеялся «починить» доказательство, найдя способ устранить ошибку, но ему это никак не удавалось, и среди математиков поползли слухи, что и на этот раз доказательство теоремы Ферма не выдержало критики. Конечно, Уайлсом и без того была проделана огромная работа, которая дала много важных результатов, но он хотел доказать теорему Ферма, и для него найденная ошибка была кошмаром.

Уайлс снова скрылся от публики и работал лишь с одним из рецензентов своей статьи (и по совместительству бывшим аспирантом) Ричардом Тейлором. Тейлор для этого специально приехал в Принстон. Все лето 1994 года они искали решение проблемы и не нашли. Уайлс уже готов был смириться с поражением, но Тейлор уговорил его продолжить поиски до октября, когда Тейлору нужно было уезжать.

Не надеясь найти решение, Уайлс, по крайней мере, решил понять, почему в его выкладки вкралась ошибка. Утром 19 сентября 1994 года математик сидел в своем кабинете, изучая использованные им методы доказательства, и внезапно его озарило. Он понял, что нужно сделать, чтобы его доказательство снова заработало. Наконец-то он смог отправить статью с доказательством теоремы Ферма, а также совместную с Тейлором статью с необходимыми дополнительными доказательствами в редакцию журнала Annals of Mathematics . Эти работы были опубликованы в 1995 году. Теорема Ферма была доказана,теперь - без всяких сомнений.

Грандиозная шутка

И все же в этой истории осталась одна загадка. Три с половиной века математики бились над теоремой Ферма, а ее доказательство потребовало использования самых современных методов и доказательства другой важной теоремы, сформулированной лишь в XX веке. Всего этого во времена Ферма просто не было. Действительно ли он располагал «поистине удивительным доказательством» своей теоремы? Есть подозрение, что нет, ибо в записках Ферма остались следы поисков решений при n =4 и n =5, что было бы излишне, будь у математика доказательство теоремы в общем виде. Но даже если самонадеянный математик-затворник ошибся, значение созданной им интриги трудно переоценить. Ощущение, что «истина где-то рядом» вдохновляло на поиски решения многих математиков, и кто знает, как сложилась бы судьба теоремы, не будь она столь популярна.

ОСЛО, 15 марта. /Корр. ТАСС Юрий Михайленко/. Британец Эндрю Уайлс был объявлен лауреатом Абелевской премии, которую присуждает Академия наук Норвегии. Почетная награда, которую нередко называют "Нобелевской премией для математиков", была присуждена ему за доказательство Великой (Последней) теоремы Ферма в 1994 году, "положившее начало новой эре в теории чисел".

"Новые идеи, введенные Уайлсом в научный обиход, открыли возможность для дальнейших прорывов", - сказал глава Абелевского комитета Йон Рогнес. - Немногие математические проблемы имеют столь богатую научную историю и столь эффектное доказательство, как Последняя теорема Ферма".

Научный путь сэра Эндрю

В комментарии Норвежскому телеграфному бюро Рогнес также уточнил, что доказательство знаменитой теоремы стало лишь одной из причин, по которым Уайлс был выбран среди кандидатов, номинированных на премию в этом году.

"Для решения теоремы, которую не могли доказать 350 лет, он использовал подходы двух современных областей математической науки, изучающих, в частности, полустабильные эллиптические кривые, - сказал журналистам Рогнес. - Такая математика используется, например, в эллиптической криптографии, с помощью которой защищаются данные о платежах, совершаемых с помощью пластиковых карт".

Ученый, которому в следующем месяце исполнится 63 года, получил образование в Оксфордском и Кембриджском университетах. Его отец был англиканским священником и более 20 лет занимал должность профессора теологии в Кембридже. Сам Уайлс на протяжении 30 лет работал в США, преподавая в Принстонском университете, и с 2005 по 2009 год возглавлял там кафедру математики. В настоящее время он работает в Оксфорде. На его счету полтора десятка математических премий, за научные заслуги он был также посвящен в рыцари королевой Великобритании Елизаветой II.

Обманчивая простота

Особенность теоремы, сформулированной французом Пьером Ферма (1601 - 1665), в обманчиво простой формулировке: уравнение "А в степени n плюс B в степени n равно С в степени n" не имеет натуральных решений, если число n больше двух. На первый взгляд она предполагает и довольно простое доказательство, однако на деле это оказывается совсем не так.

Сам Уайлс в многочисленных интервью признавался, что теорема заинтриговала его еще в 10 лет. Уже тогда ему было просто понять условия задачи, и не давал покоя тот факт, что за три века ни один математик не смог ее решить. Детское увлечение не прошло с годами. Уже сделав научную карьеру, Уайлс на протяжении многих лет в свободное время бился над решением, однако не афишировал этого, так как среди его коллег увлечение теоремой Ферма считалось дурным тоном. Свое доказательство он предложил, основываясь на гипотезе двух японских ученых, и опубликовал в 1993 году, но несколько месяцев спустя в его расчетах была обнаружена ошибка.

Больше года вместе со своими учениками Уайлс пытался ее исправить, под конец едва не опустив руки, однако в конечном итоге все же нашел доказательство, которое было признано верным. При этом якобы существующее простое и изящное доказательство, о котором упоминал сам Ферма, до сих пор не найдено.

Кем был Хенрик Абель

В 2014 и 2009 годах лауреатами Абелевской премии становились воспитанники русской математической школы - Яков Синай и Михаил Громов, соответственно. Награда носит имя знаменитого норвежца Нильса Хенрика Абеля. Он стал основоположником теории эллиптических функций и внес значительный вклад в теорию рядов.

В честь 200-летия со дня рождения ученого, прожившего всего 26 лет, норвежское правительство в 2002 году выделило 200 млн крон (около $23,4 млн по текущему курсу) на учреждение Абелевского фонда и одноименной премии. Она призвана не только отмечать заслуги выдающихся математиков, но и способствовать росту популярности этой научной дисциплины среди молодежи.

На сегодняшний день размер денежной составляющей премии равен 6 млн крон ($700 тысяч). Официальная церемония вручения награды должна пройти 24 мая. Почетную награду лауреату вручит наследник норвежского престола - принц Хокон Магнус.

Эндрю Уайлс — профессор математики Принстонского университета, он доказал Великую теорему Ферма, над которой не одно поколение учёных билось сотни лет.

30 лет над одной задачей

Впервые Уайлс узнал о последней теореме Ферма, когда ему было десять лет. Он зашел по дороге из школы домой в библиотеку и увлёкся чтением книги «Последняя задача» Эрика Темпла Белла. Возможно сам того ещё не зная, но с этого момента он посвятил свою жизнь поискам доказательства, несмотря на то, что это было то, что ускользало от лучших умов на планете в течение трёх веков.

Уайлс узнал о последней теореме Ферма, когда ему было десять лет

Он нашёл его 30 лет спустя после доказательства другим учёным, Кеном Рибетом, связи теоремы японских математиков Таниямы и Симуры с Великой теоремой Ферма. В отличие от скептически настроенных коллег, Уайлс сразу понял — вот оно, и через семь лет поставил точку в доказательстве.

Сам процесс доказательства выдался очень драматичным: Уайлс завершил свой труд в 1993-м году, но прямо во время публичного выступление нашел в своих рассуждениях существенный «пробел». Два месяца ушло на поиск ошибки в вычислениях (ошибка крылась среди 130 печатных страниц решения уравнения). Далее, полтора года велась напряжённая работа над исправлением ошибки. Всё научное сообщество Земли было в недоумении. Уайлс завершил свою работу 19 сентября 1994-го года и сразу же и представил её обществу.

Пугающая слава

Больше всего Эндрю боялся славы и публичности. Он очень долгое время отказывался от выступлений по телевидению. Считается, что его смог переубедить Джон Линч. Он заверил Уайлса в том, что тот мог вдохновить новое поколение математиков и показать мощь математики общественности.

Эндрю Уайлс долгое время отказывался от выступлений по телевидению

Немногим позже, благодарное общество начало награждать Эндрю премиями. Так 27 июня 1997 года Уайлс получил премию Вольфскеля, которая приблизительно составила $50 000. Это намного меньше, чем Вольфскель намеревался оставить столетием раньше, но гиперинфляция привела к сокращению суммы.

К сожалению, математический эквивалент Нобелевской премии — премия Филдса, Уайлсу попросту не досталась из-за того, что её вручают математикам моложе сорока лет. Вместо этого он получил специальную серебряную тарелку на церемонии вручения медали Филдса в честь его важного достижения. Уайлс также выиграл престижную премию Вольфа, премию короля Файзала и многие другие международные награды.

Мнения коллег

Реакция одного из самых известных современных российских математиков академика В. И. Арнольда на доказательство «активно скептична»:

Это не настоящая математика — настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой. Более того, сама проблема Ферма по своей природе не может генерировать развитие математики, поскольку она «бинарна», то есть, формулировка проблемы требует дать ответ только на вопрос «да или нет».

Вместе с тем, математические работы последних лет самого В. И. Арнольда во многом оказались посвящены вариациям на очень близкую теоретико-числовую тематику. Возможно, что Уайлс парадоксальным образом стал косвенной причиной этой активности.

Настоящая мечта

Когда Эндрю спрашивают, как ему удалось просидеть в четырёх стенах более 7 лет, занимаясь одной задачей, Уайлс рассказывает, как мечтал во время своей работы, что настанет время, когда курсы математики в вузах, и даже в школах, будут подстроены под его метод доказательства теоремы. Ему хотелось, чтобы само доказательство Великой теоремы Ферма стало не только модельной математической задачей, но и методологической моделью для преподавания математики. Уайлс представлял, что на её примере можно будет изучать все основные разделы математики и физики.

4 дамы, без которых не было бы доказательства

Эндрю женат и имеет троих дочерей, двое из которых родились «в семилетнем процессе первого варианта доказательства».

Сам Уайлс считает, что без своей семьи у него бы ничего не вышло

В эти годы только Нада, жена Эндрю, знала о том, что он штурмует в одиночку самую неприступную и самую знаменитую вершину математики. Именно им, Наде, Клэр, Кэйт и Оливии посвящена знаменитая финальная статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» в центральном математическом журнале «Annals of Mathematics», где публикуются наиболее важные математические работы. Впрочем, сам Уайлс нисколько не отрицает, что без своей семьи у него бы ничего не вышло.

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма". Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Удивительно, что про это событие толком не знают не только наши обычные российские обыватели, но и многие интересующиеся наукой люди, включая даже немалое число ученых в России, так или иначе использующих математику. Это показывают не прекращающиеся «сенсационные» сообщения об «элементарных доказательствах» теоремы Ферма в российских популярных газетах и по телевидению. Очередные доказательства освещались с такой информационной силой, как будто не существовало прошедшее самую авторитетную экспертизу и получившее широчайшую известность во всем мире доказательство Уайлса. Реакция российского математического сообщества на эти первополосные новости в ситуации давно полученного строгого доказательства оказалась поразительно вялой. Наша цель состоит в том, чтобы дать набросок захватывающей и драматичной истории доказательства Уайлса в контексте феерической истории самой великой теоремы Ферма и немного поговорить о самом ее доказательстве. Здесь нам прежде всего интересен вопрос о возможности доступного изложения доказательства Уайлса, про которое, конечно, большинство математиков в мире знает, но говорить про понимание этого доказательства могут лишь очень и очень немногие из них.

Итак, вспомним знаменитую теорему Ферма. Большинство из нас так или иначе слышали о ней еще со школьной поры. Эта теорема связана с весьма знаменательным уравнением. Это, пожалуй, самое простое осмысленное уравнение, какое только можно написать, используя три неизвестных X,Y,Z и еще один строго положительный целочисленный параметр «n». Вот оно:

Великая теорема Ферма утверждает, что при значениях параметра «n» (степени уравнения), превышающих двойку, целочисленных решений (X,Y,Z) данного уравнения не существует (кроме, конечно, решения, когда все эти переменные равны нулю одновременно).

Притягательная сила этой теоремы Ферма для широкой публики очевидна: нет другого математического утверждения, обладающего такой простотой формулировки, кажущейся доступностью доказательства, а также привлекательностью его «статусности» в глазах общества.

До Уайлса дополнительным стимулом для ферматистов (так назвали людей, маниакально атаковавших проблему Ферма) являлся учрежденный почти сто лет назад приз немца Вольфскеля за доказательство, правда небольшой по сравнению с Нобелевской премией - он успел обесцениться во время первой мировой войны.

Кроме того, всегда привлекала вероятная элементарность доказательства, так как сам Ферма «ее доказал», написав на полях перевода «Арифметики» Диофанта: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его».

Вот почему здесь уместно привести оценку актуальности популяризации доказательства Уайлса проблемы Ферма, принадлежащую известному американскому математику Рему Мерти (R. Murty) (цитируем по выходящему скоро переводу книги Ю. Манина и А. Панчишкина «Введение в современную теорию чисел»):

«Большая теорема Ферма занимает особое место в истории цивилизации. Своей внешней простотой она всегда притягивала к себе как любителей, так и профессионалов… Все выглядит так, как если бы было задумано неким высшим разумом, который в течение веков развивал различные направления мысли лишь затем, чтобы потом воссоединить их в один захватывающий сплав для решения Большой теоремы Ферма. Ни один человек не может претендовать на то, чтобы быть экспертом во всех идеях, использованных в этом «чудесном» доказательстве. В эпоху всеобщей специализации, когда каждый из нас знает «все больше и больше о все меньшем и меньшем», совершенно необходимо иметь обзор этого шедевра…»

Начнем с краткого исторического экскурса, в основном навеянного увлекательной книгой Саймона Сингха «Великая теорема Ферма». Вокруг манящей своей кажущейся простотой коварной теоремы всегда кипели нешуточные страсти. История ее доказательства – сплошные драмы, мистика и даже непосредственные жертвы. Пожалуй, самая знаковая жертва – Ютака Танияма (1927-1958). Именно этот молодой талантливый японский математик, отличавшийся в жизни большой экстравагантностью, создал в 1955 году основу для атаки Уайлса. На основе его идей Горо Шимура и Андре Вейль несколькими годами позже (60-67 годы) окончательно сформулировали знаменитую гипотезу, доказав значительную часть которой, Уайлс получил теорему Ферма как следствие. Мистика истории смерти нетривиального Ютаки связана с его бурным темпераментом: он повесился в возрасте тридцати одного года на почве несчастной любви.

Эндрю Уайлс (Andrew Wiles), родился в Англии в 1953 году, учился на математическом факультете в Кембридже; в аспирантуре был у профессора Джона Коутса. Под его руководством Эндрю постигал теорию японского математика Ивасавы, находящуюся на границе классической теории чисел и современной алгебраической геометрии. Такой сплав с виду далеких друг от друга математических дисциплин получил название арифметической алгебраической геометрии. Эндрю бросил вызов проблеме Ферма, опираясь именно на эту сложную даже для многих профессиональных математиков синтетическую теорию,.

После окончания аспирантуры Уайлс получил позицию в Принстонском университете, где работает и сейчас. Он женат и имеет троих дочерей, двое из которых родились «в семилетнем процессе первого варианта доказательства». В эти годы только Нада, жена Эндрю, знала о том, что он штурмует в одиночку самую неприступную и самую знаменитую вершину математики. Именно им, Наде, Клэр, Кэйт и Оливии посвящена знаменитая финальная статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» в центральном математическом журнале «Annals of Mathematics», где публикуются наиболее важные математические работы.

Сами же события вокруг доказательства разворачивались довольно драматично. Этот захватывающий сценарий можно было бы назвать «ферматист – математик-профессионал».

Действительно, Эндрю мечтал доказать теорему Ферма уже с юношеских лет. Но ему, в отличие от подавляющего большинства ферматистов, было ясно, что для этого нужно осваивать целые пласты самой сложной математики. Двигаясь к своей цели, Эндрю заканчивает математический факультет знаменитого Кембриджского университета и начинает специализироваться в современной теории чисел, находящейся на стыке с алгебраической геометрией.

Идея штурма сияющей вершины достаточно проста и фундаментальна - .максимально хорошая аммуниция и тщательная разработка маршрута.

В качестве мощного инструмента достижения цели выбирается развиваемая самим же Уайлсом уже знакомая ему теория Ивасавы, имеющая глубокие исторические корни. Эта теория обобщала теорию Куммера – исторически первую серъезную математическую теорию по штурму проблемы Ферма, появившуюся еще в 19-м веке. В свою очередь, корни теории Куммера лежат в знаменитой теории легендарного и гениального романтика-революционера Эвариста Галуа, погибшего в возрасте двадцати одного года на дуэли в защиту чести девушки (обратите внимание, вспомнив историю с Таниямой, на роковую роль прекрасных дам в истории математики).

Уайлс полностью погружается в доказательство, прекращая даже участие в научных конференциях. И в результате семилетнего отшельничества от математического сообщества в Принстоне, в мае 1993 года Эндрю ставит.точку в своем тексте - дело сделано.

Именно в это время подворачивается прекрасный повод оповестить научный мир о своем открытии – уже в июне должна была состояться конференция в родном Кембридже именно по нужной тематике. Три лекции в Кембриджском институте Исаака Ньютона будоражат не только математический мир, но и широкую общественность. В конце третьей лекции, 23-го июня 1993-го года, Уайлс объявляет о доказательстве великой теоремы Ферма. Доказательство насыщено целым букетом новых идей, таких как новый подход к гипотезе Таниямы-Шимуры-Вейля, далеко продвинутая теория Ивасавы, новая «теория контроля деформаций» представлений Галуа. Математическое сообщество с огромным нетерпением ждет проверки текста доказательства экспертами по арифметической алгебраической геометрии.

Вот здесь-то и наступает тот самый драматический поворот. Сам Уайлс в процессе общения с рецензентами обнаруживает у себя пробел в доказательстве. Трещину дал изобретенный им же самим механизм «контроля деформаций» - несущая конструкция доказательства.

Пробел обнаруживается пару месяцев спустя в результате «построчечного» объяснения Уайлсом своего доказательства коллеге по кафедре в Принстоне Нику Кацу. Ник Кац, находясь уже давно в дружеских отношениях с Эндрю, рекомендует ему сотрудничество с молодым перспективным английским математиком Ричардом Тейлором.

Проходит еще один год напряженной работы, связанный с изучением дополнительного орудия атаки на неподдающуюся проблему - так называемых эйлеровских систем, независимо открытых в 80-е годы нашим соотечественником Виктором Колывагиным (уже давно работающим в университете Нью-Йорка) и Тэйном.

И вот новое испытание. Не доведенный до конца, но все же очень впечатляющий результат работы Уайлса, докладывается им международном конгрессе математиков в Цюрихе в конце августа 1994 года. Уайлс борется изо всех сил. Буквально перед докладом, по словам очевидцев, он еще что-то лихорадочно пишет, пытаясь максимальной улучшить ситуацию с «провисшим» доказательством.

После этого интригующего аудиторию крупнейших математиков мира доклада Уайлса математическое сообщество «радостно выдыхает» и сочувственно аплодирует: ничего, парень, с кем ни бывает, но ведь зато продвинул науку, показав, что и в решении такой неприступной гипотезы можно успешно продвигаться, чего ранее никто даже не помышлял делать. Очередной ферматист Эндрю Уайлс не смог отнять сокровенную мечту многих математиков о доказательстве теоремы Ферма.

Естественно представить состояние Уайлса в то время. Даже поддержка и доброжелательное отношение коллег по цеху не могли компенсировать его состояние психологического опустошения.

И вот, всего через месяц, когда, как пишет Уайлс во введении к своей итоговой статье в «Annals» с окончательным доказательством, «я решил бросить последний взляд на эйлеровы системы в попытке реанимировать этот аргумент для доказательства», это случилось. Вспышка озарения настигла Уайлса 19-го сентября 1994 г. Именно в этот день пробел в доказательстве удалось закрыть.

Далее дела пошли в стремительном темпе. Уже налаженное сотрудничество с Ричардом Тейлором при изучении эйлеровых систем Колывагина и Тэйна позволило окончательно оформить доказательство в виде двух больших статей уже в октябре.

Их публикация, занявшая на весь номер «Annals of Mathematics», последовала уже в ноябре 1994. Все это вызвало новый мощный информационный всплеск. История доказательства Уайлса получила в США восторженную прессу, был снят фильм и выпущены книги об авторе фантастического прорыва в математике. В одной из оценок своего собственного труда Уайлс отметил, что он изобрел математику будущего.

(Интересно, так ли это? Заметим лишь, что со всем этим информационным шквалом резко контрастировал практически нулевой информационный резонанс в России, продолжающийся до сих пор).

Зададимся вопросом – какова «внутренняя кухня» получения выдающихся результатов? Ведь интересно знать, как ученый организует свою работу, на что в ней ориентируется, как определяет приоритеты своей деятельности. Что можно сказать в этом смысле про Эндрю Уайлса? И неожиданно оказывается, что в современную эпоху активных научных коммуникаций и коллективного стиля работы у Уайлса был свой взгляд на стиль работы над суперпроблемами.

Уайлс шел к своему фантастическому результату на основе интенсивной непрерывной многолетней индивидуальной работы. Организация его деятельности, говоря казенным языком, носила экстремально внеплановый характер. Это категорически нельзя было назвать деятельностью в рамках определенного гранта, по которой необходимо регулярно отчитываться и опять всякий раз планировать получение определенных результатов к определенному сроку.

Такая деятельность вне общества, не использующая непосредственное научное общение с коллегами даже на конференциях, казалась противоречащей всем канонам работы современного ученого.

Но именно индивидуальная работа, позволяла выходить за рамки уже сложившихся стандартных понятий и методов. Такой стиль работы, замкнутый по форме и одновременно свободный по сути, позволял изобретать новые мощные методы иполучать результаты нового уровня.

Стоявшая перед Уайлсом проблема (гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля) не находилась в те годы в числе даже ближайших вершин, которые могут быть покорены современной математикой. При этом никто из специалистов не отрицал ее огромного значения, и номинально она была в «мэйнстриме» современной математики.

Таким образом, деятельность Уайлса носила ярко выраженный внесистемный характер и результат был достигнут благодаря сильнейшей мотивации, таланту, творческой свободе, воле, более чем благоприятным материальным условиям для работы в Принстоне и, что крайне важно, взаимопониманию в семье.

Доказательство Уайлса, появившееся как гром среди ясного неба, стало своеобразным тестом для международного математического сообщества. Реакция даже самой прогрессивной части этого сообщества в целом оказалась, как ни странно, довольно нейтральной. После того как улеглись эмоции и восторги первого времени после появления знакового доказательства все спокойно продолжили свои дела. Специалисты по арифметической алгебраической геометрии потихоньку изучали «могучее доказательство» в своем узком кругу, остальные же бороздили свои математические тропы, расходясь, как и ранее, все дальше друг от друга.

Попробуем понять эту ситуацию, у которой есть как объективные, так и субъективные причины. Объективные факторы невосприятия, как ни странно, имеют корни в организационной структуре современной научной деятельности. Эта деятельность подобна катку, спускающемуся по наклонной вниз дороге и обладающему колоссальной инерцией: своя школа, свои сложившиеся приоритеты, свои источники финансирования, и.т.д. Все это хорошо с точки зрения налаженной системы отчетности перед грантодателем, но мешает поднять голову и оглядеться по сторонам: а что собственно действительно является важным и актуальным для науки и общества, а не для очередной порции гранта?

Потом - опять же - не хочется вылезать из своей уютной норки, где все так знакомо, и залезать в другую, совсем незнакомую нору. Неизвестно, чего там ждать. Тем более, заведомо ясно - за вторжение денег там не дают.

Вполне естественно, что ни одна из бюрократических структур, организующих науку в разных странах, включая и Россию, так и не сделала выводов не только из феномена доказательства Эндрю Уайлса, но и похожего феномена нашумевшего доказательства Григория Перельмана другой, тоже знаменитой математической проблемы.

Субъективные факторы нейтральности реакции математического мира на «событие тысячелетия» лежат во вполне прозаичных причинах. Доказательство действительно необычайно сложное и длинное. Для неспециалиста в арифметической алгебраической геометрии оно кажется состоящим из наслоения терминологии и конструкций наиболее абстрактных математических дисциплин. Кажется, что автор и вовсе не ставил цель, чтобы его поняли как можно большее число интересующихся математиков.

Эта методологическая сложность, к сожалению, присутствует как неизбежная издержка великих доказательств последнего времени (например, разбор недавнего доказательства Григория Перельмана гипотезы Пуанкаре продолжается по сей день).

Сложность восприятия усиливается еще и тем, что арифметическая алгебраическая геометрия - весьма экзотическая подобласть математики, вызывающая трудности даже у профессиональных математиков. Дело усугублялось также и необычайной синтетичностью доказательства Уайлса, использовавшего разнообразные современные инструменты, созданные большим числом математиков в самые последние годы.

Но надо учесть, что перед Уайлсом и не стояла методическая задача объяснения – он конструировал новый метод. В методе работал именно синтез собственных гениальных идей Уайлса и конгломерата новейших результатов из различных математических направлений. И именно такая мощная конструкция протаранила неприступную проблему. Доказательство не стало случайностью. Факт его кристаллизации полностью соответствовал как логике развития науки, так и логике познания. Задача разъяснения такого супердоказательства представляется абсолютно самостоятельной, весьма непростой, хотя и очень перспективной проблемой.

Можете сами прощупать общественное мнение. Попробуйте задать вопросы знакомым математикам по поводу доказательства Уайлса: кто понял? Кто понял хотя бы основные идеи? Кто захотел понять? Кто почувствовал, что это новая математика? Ответы на эти вопросы представляются риторическими. И вряд ли вы встретите много желающих прорвать частокол специальных терминов и освоить новые понятия и методы для того, чтобы решить всего одно весьма экзотическое уравнение. И почему ради именно этой задачи надо все это изучать?!

Приведу такой забавный пример. Пару лет назад знаменитый французский математик, филдсовский лауреат, Пьер Делинь , крупнейший специалист в алгебраической геометрии и теории чисел, на вопрос автора о смысле одного из ключевых объектов доказательства Уайлса – так называемого «кольца деформаций» - после получасового раздумья сказал, что не до конца понимает смысл этого объекта. С момента доказательства к этому моменту прошло уже десять лет.

Теперь можно воспроизвести реакцию российских математиков. Основная реакция – ее практически полное отсутствие. В основном это вызвано «тяжелой» и «непривычной» математикой Уайлса.

Например, в классической теории чисел вы не встретите таких длинных доказательств как у Уайлса. Как выражаются специалисты по теории чисел, «доказательство должно быть на страничку» (доказательство Уайлса в сотрудничестве с Тейлором в журнальном варианте занимает 120 страниц).

Также нельзя исключать фактора опасения за непрофессионализм своей оценки: реагируя, берешь на себя ответственность за оценки доказательства. А как это делать, когда не знаешь этой математики?

Характерной является позиция занятая непосредственными специалистами по теории чисел: «… и трепет, и жгучий интерес, и осторожность перед лицом одной из величайших загадок в истории математики» (из предисловия к книге Пауло Рибенбойма «Последняя теорема Ферма для любителей» - единственному доступному на сегодняшний день источнику непосредственно по доказательству Уайлса для широкого читателя.

Реакция одного из самых известных современных российских математиков академика В.И. Арнольда на доказательство «активно скептична»: это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой. Более того, сама проблема Ферма по своей природе не может генерировать развитие математики, поскольку она «бинарна», то есть, формулировка проблемы требует дать ответ только на вопрос «да или нет». Вместе с тем, математические работы последних лет самого В.И. Арнольда во многом оказались посвящены вариациям на очень близкую теоретико-числовую тематику. Возможно, что Уайлс парадоксальным образом стал косвенной причиной этой активности.

На мехмате МГУ, все-таки, появляются энтузиасты доказательства. Замечательный математик и ученый-популяризатор Ю.П. Соловьев (безвременно ушедший от нас) инициирует перевод книги Э.Кнэппа по эллиптическим кривым с необходимым материалом по гипотезе Таниямы–Шимуры-Вейля. Алексей Панчишкин, работащий ныне во Франции, в 2001-м году читает на мехмате лекции, положенные в основу соответствующей части его с Ю.И. Маниным великолепной, упомянутой выше книги по современной теории чисел (выходящей в русском переводе Сергея Горчинского с редактурой Алексея Паршина в 2007г.).

Несколько удивительно, что в московском математическом институте Стеклова – центре математического мира России - доказательство Уайлса не разбиралось на семинарах, а изучалось только отдельными профильными экспертами. Тем более, не разбиралось и доказательство уже полной гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля (Уайлс доказал только ее часть, достаточную для доказательства теоремы Ферма). Это доказательство было дано в 2000 году уже целым коллективом зарубежных математиков, включая Ричарда Тейлора – соавтора Уайлса по завершающему этапу доказательства теоремы Ферма.

Также не отмечалось и публичных высказываний и, тем более, дискуссий со стороны известных российских математиков по поводу доказательства Уайлса. Известна довольно резкая дискуссия между россиянином В. Арнольдом («скептиком метода доказательства») и американцем С. Ленгом («энтузиастом метода доказательства»), однако, ее следы теряются в западных изданиях. В российской же центральной математической прессе за время, прошедшее со времени публикации доказательства Уайлса, не было публикаций на тему доказательства. Пожалуй, единственной публикацией на эту тему был перевод статьи канадского математика Генри Дармона даже еще неокончательной версии доказательства в «Успехах математических наук» в 1995 году (забавно, что полное доказательство уже было опубликовано).

На этом «сонном» математическом фоне, несмотря на крайне абстрактный характер доказательства Уайлса, некоторые бесстрашные теоретические физики включили его в зону своего потенциального интереса и начали его изучение, надеясь рано или поздно найти приложения математики Уайлса. Это не может не радовать, хотя бы потому, что эта математика все эти годы находилась практически в самоизоляции.

Тем не менее, проблема адаптации доказательства, крайне отягчающая его прикладной потенциал, оставалась и остается очень актуальной. На сегодняшний день оригинальный крайне специальный текст статьи Уайлса и совместной статьи Уайлса и Тейлора уже адаптирован, правда только для достаточно узкого круга профессиональных математиков. Это сделано в упоминавшейся книге Ю. Манина и А. Панчишкина. Им удалось успешно сгладить определенную искусственность оригинального доказательства. Кроме того, американский математик Серж Ленг, яростный пропагандист доказательства Уайлса (к сожалению, ушедший от нас в сентябре 2005-го года), включил некоторые наиболее важные конструкции доказательства в третье издание своего, ставшего классическим, университетского учебника «Алгебра».

В качестве примера искусственности оригинального доказательства отметим, что одной из особенно ярких черт, создающих такое впечатление, является особая роль отдельных простых чисел, таких как 2, 3, 5, 11, 17, а также отдельных натуральных чисел, таких как 15, 30 и 60. Помимо прочего, совершенно очевидно, что доказательство не геометрично в самом обычном смысле. Оно не содержит естественных геометрических образов, к которым можно было бы привязаться для лучшего понимания текста. Сверхмощная «затерминологизированная» абстрактная алгебра и «продвинутая» теория чисел чисто психологически бьют по возможности восприятию доказательства даже квалифицированного читателя-математика.

Остается только удивляться, почему же в такой ситуации эксперты доказательства, включая самого Уайлса, его «не шлифуют», не пропагандируют и не популяризируют явный «математический хит» даже в родном математическом сообществе.

Итак, если говорить коротко, то на сегодняшний день факт доказательства Уайлса является просто фактом доказательства теоремы Ферма со статусом первого правильного доказательства и использованной в нем «некой сверхмощной математики».

По поводу мощной, но не нашедшей приложений математики очень ярко в свое время высказался известный российский математик середины прошлого века, бывший декан мехмата, В.В. Голубев: «… по остроумному замечанию Ф. Клейна, многие отделы математики представляют подобие тех выставок новейших моделей оружия, которые существуют при фирмах, изготовляющих вооружение; при всем остроумии, вложенном изобретателями, часто бывает, что когда начинается настоящая война, эти новинки оказываются в силу тех или иных причин непригодными… Совершенно ту же картину представляет собой и современное преподавание математики; учащимся даются в руки весьма совершенные и мощные средства математического исследования…, но дальше учащиеся не выносят никакого представления о том, где и как эти мощные и остроумные методы могут быть приложены в решении основной задачи всей науки: в познании окружающего нас мира и в воздействии на него творческой воли человека. В свое время А.П. Чехов сказал, что если в первом действии пьесы на сцене висит ружье, то необходимо, чтобы хотя в третьем действии из него стреляли. Это замечание полностью приложимо и к преподаванию математики: если студентам излагается какая-нибудь теория, то необходимо показать рано или поздно, какие приложения можно сделать из этой теории прежде всего в области механики, физики или техники и в других областях.»

Продолжая эту аналогию можно сказать, что доказательство Уайлса представляет исключительно благоприятный материал для изучения огромного пласта современной фундаментальной математики. Здесь студентам можно показать как задача классической теории чисел тесно связана с такими разделами чистой математики как современная алгебраическая теории чисел, современная теория Галуа, p-адическая математика, арифметическая алгебраическая геометрия, коммутативная и некоммутативная алгебра.

Было бы справедливо, если бы уверенность Уайлса, что изобретенная им математика – математика нового уровня нашла свое подтверждение. И очень не хочется, чтобы эту действительно очень красивую и синтетическую математику постигла участь «невыстрелившего ружья».

И все-таки, зададимся теперь вопросом: можно ли в достаточно доступных терминах описать доказательство Уайлса для широкой интересующейся аудитории?

С точки зрения специалистов это абсолютная утопия. Но давайте, все-таки, попробуем, руководствуясь простым соображением, что теорема Ферма – это утверждение всего лишь о целых точках нашего обычного трехмерного евклидова пространства.

Будем последовательно подставлять точки с целыми координатами в уравнение Ферма.

Уайлс находит оптимальный механизм пересчета целых точек и их тестирования на удовлетворение уравнению теоремы Ферма (после введения необходимых определений такой пересчет как раз и будет соответствовать так называемому «свойству модулярности эллиптических кривых над полем рациональных чисел», описываемому гипотезой Таниямы–Шимуры-Вейля»).

Механизм пересчета оптимизируется с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея, связавшим потенциальное решение уравнения Ферма с произвольным показателем «n» с другим, совсем непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задается специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Эта кривая Фрея задается уравнением совсем несложного вида:

y 2 + x (x - a n) (x+ b n) = 0

Неожиданность идеи Фрея состояла в переходе от теоретико-числовой природы задачи к ее «скрытому» геометрическому аспекту. А именно: Фрей сопоставил всякому решению (a,b,c) уравнения Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению

указанную выше кривую. Теперь оставалось показать, что таких кривых не существует при n>2. В этом случае отсюда и следовала бы великая теорема Ферма. Именно такая стратегия и была выбрана Уайлсом в 1986-м году, когда он начал свой феерический штурм.

Изобретение Фрея к моменту «старта Уайлса» было совсем свежим (85-й год) и перекликалось также с относительно недавним подходом французского математика Хеллегуарша (70-е годы), предложившего использовать эллиптические кривые для поиска решений диофантовых уравнений, т.е. уравнений похожих на уравнение Ферма.

Попробуем теперь посмотреть на кривую Фрея с другой точки зрения, а именно, как на инструмент пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Другими словами, у нас кривая Фрея будет играть роль формулы, определяющей алгоритм такого пересчета.

В таком контексте можно сказать, что Уайлс изобретает инструменты (специальные алгебраичесие конструкции) для контроля за этим пересчетом. Собственно говоря, этот тонкий инструментарий Уайлса и составляет центрально ядро и основную сложность доказательства. Именно при изготовлении этих инструментов и возникают основные изощренные алгебраические находки Уайлса, которые так непросты для восприятия.

Но все же, самым неожиданным эффектом доказательства, пожалуй, оказывается достаточность использования только одной «фреевской» кривой, представляемой совсем несложной, почти «школьной» зависимостью y=f(x). Удивительно, что использование только одной такой кривой оказывается достаточным для тестирования всех точек трехмерного евклидова пространства с целыми координатами на предмет удовлетворения их соотношению Большой теоремы Ферма с произвольным показателем степени «n».

Другими словами, использование всего одной кривой (правда, имеющей специфический вид), доступной для понимания и обычному старшекласснику, оказывается равносильным построению алгоритма (программы) последовательного пересчета целых точек обычного трехмерного пространства. И не просто пересчета, а пересчета с одновременным тестированием целой точки на «ее удовлетворямость» уравнению Ферма.

В этом контексте сразу же становится ясно почему сам Ферма не мог доказать свою теорему по объективным причинам, хотя при этом вполне мог «увидеть» геометрическую идею ее доказательства.

Дело в том, что пересчет проходит по контролем математических инструментов, не имеющих аналогов не только в далеком прошлом, но и неизвестных до Уайлса даже в современной математике.

Самое главное здесь в том, что эти инструменты «минимальны», т.е. их нельзя упростить. Хотя сама по себе эта «минимальность» весьма непроста. И именно осознание Уайлсом этой нетривиальной «минимальности» и стало решающим финальным шагом доказательства. Это как раз и была та самая «вспышка» 19-го сентября 1994 года.

Некоторая проблема, вызывающая неудовлетворенность, здесь все-таки остается – у Уайлса эта минимальная конструкция не описана явно. Поэтому у интересующихся проблемой Ферма еще есть интересная работа - необходима ясная интерпретация этой «минимальности».

Возможно, что именно здесь и должна скрываться геометрия «заалгебраизированного» доказательства. Не исключено, что как раз эту геометрию и чувствовал сам Ферма, когда делал знаменитую запись на узких полях своего трактата: «я нашел поистине замечательное доказательство …».

Теперь непосредственно перейдем к виртуальному эксперименту и попробуем «покопаться» в мыслях математика-юриста Пьера де Ферма.

Геометрический образ так называемой малой теоремы Ферма можно представить в виде окружности, катящейся «без проскальзывания» по прямой и «наматывающей» на себя целые точки. Уравнение малой теоремы Ферма в этой интерпретации получает и физический смысл – смысл закона сохранения такого движения в одномерном дискретном времени.

Эти геометрические и физические образы можно попробовать перенести на ситуацию, когда размерность задачи (число переменных уравнения) увеличивается и уравнение малой теоремы Ферма переходит в уравнение большой теоремы Ферма. А именно: допустим, что геометрия большой теоремы Ферма представляется сферой, катящейся по плоскости и «наматывающей» на себя целые точки на этой плоскости. Важно, что это качение не должно быть произвольным, а «периодическим» (математики также говорят «циклотомическим»). Периодичность качения означает, что вектора линейной и угловой скорости катящейся максимально общим образом сферы через определенное фиксированное время (период) повторяются по величине и по направлению. Такая периодичность аналогична периодичности линейной скорости качения окружности по прямой, моделирующей «малое» уравнение Ферма.

Соответственно, «большое» уравнение Ферма получает смысл закона сохранения указанного выше движения сферы уже в двумерном дискретном времени. Возьмем теперь диагональ этого двумерного времени (именно в этом шаге и состоит вся сложность!). Эта чрезвычайно хитрая и оказывающаяся единственной диагональ и представляет собой уравнение большой теоремы Ферма, когда показатель «n» уравнения равен именно двум.

Важно отметить, что в одномерной ситуации – ситуации малой теоремы Ферма - такой диагонали находить не надо, поскольку время одномерно и диагональ брать не отчего. Поэтому степень переменной в уравнении малой теоремы Ферма может быть произвольной.

Итак, довольно неожиданно, мы получаем мостик к «офизичиванию» большой теоремы Ферма, то есть, к появлению у нее физического смысла. Как тут не вспомнить, что Ферма занимался не чужд был и физики.

Кстати, опыт физики также показывает, что законы сохранения механических систем приведенного выше вида квадратичны по физическим переменным задачи. И наконец, все это вполне согласуется с квадратичной структурой законов сохранения энергии ньютоновской механики, известных из школы.

С точки зрения приведенной выше «физической» интерпретации большой теоремы Ферма свойству «минимальности» соответствует минимальность степени закона сохранения (это двойка). А редукции Ферма и Уайлса соответствует приведение законов сохранения пересчета точек к закону простейшего вида. Этот простейший (минимальный по сложности) персчет как геометрически, так и алгебраически и представляется качением именно сферы по плоскости, поскольку сфера и плоскость – «минимальные» , как нам совершенно понятно, двумерные геометрические объекты.

Вся сложность, на первый взгляд отсутствующая, здесь состоит в том, что точное описание такого с виду «простого» движения сферы совсем непросто. Дело вом, что «периодическое» качение сферы «впитывает в себя» кучу так называемых «скрытых» симметрий нашего трехмерного пространства. Эти скрытые симметрии обусловлены нетривиальными сочетаниями (композициями) линейного и углового движения сферы – см. рис.1.

Именно для точного описания этих скрытых симметрий, геометрически закодированных таким хитрым качением сферы (точки с целыми координатами «сидят» в узлах нарисованной решетки), и требуются алгебраические конструкции Уайлса.

В приведенной на рис.1 геометрической интерпретации линейное движение центра сферы «считает» целые точки на плоскости, а ее угловое (или вращательное) движение обеспечивает пространственную (или вертикальную) компоненту пересчета. Вращательное движение сферы не сразу удается «разглядеть» в произвольном качении сферы по плоскости. Именно вращательное движение и соответствует упомянутым выше скрытым симметриям евклидова пространства.

Введенная выше кривая Фрея как раз и «кодирует» наиболее красивый с эстетической точки зрения пересчет целых точек в пространстве, напоминающий движение по винтовой лестнице. Действительно, если следить за кривой, которую заметает некоторая точка сферы за один период, то обнаружится, что наша отмеченная точка заметет кривую, изображенную на рис. 2, напоминающую «двойную пространственну синусоиду» - пространственный аналог графика. Эту красивую кривую можно интерпретировать как график «минимальной» по “n” (то есть n=2) кривой Фрея. Это и есть график нашего тестирующего пересчета.

Подключив некоторое ассоциативное восприятие этой картины, к своему удивлению мы обнаружим, что, поверхность, ограничиваемая нашей кривой, поразительным образом похожа на поверхность молекулы ДНК - «краеугольного кирпича» биологии! Возможно, что неслучайно терминология ДНК-кодировки конструкций из доказательства Уайлса используется в книге Сингха «Великая теорема Ферма».

Еще раз подчеркнем, что решающим моментом нашей интерпретации оказывается то обстоятельство, что аналогом закона сохранения для малой теоремы Ферма (его степень может быть сколь угодно большой) оказывается уравнение Большой теоремы Ферма именно в случае n=2. Именно этот эффект «минимальности степени закона сохранения качения сферы по плоскости» и соответствует утверждению Большой теоремы Ферма.

Вполне возможно, что сам Ферма видел или чувствовал эти геометрические и физические образы, но при этом не мог предполагать, что их так сложно описать с математической точки зрения. Тем более, он не мог предполагать, что для описания такой, хотя и нетривиальной, но все-таки достаточно прозрачной геометрии, потребуется еще триста пятьдесят лет работы математического сообщества.

Теперь перекинем мостик к современной физике. Предложенный здесь геометрический образ доказательства Уайлса очень близок к геометрии современной физики, пытающейся подобраться к загадке природы гравитации – квантовой общей теории относительности. Для подтверждения этого, с первого взгляда неожиданного, взаимодействия Большой теоремы Ферма и «Большой Физики», вообразим, что катящаяся сфера массивна и «продавливает» плоскость под собой. Интерпретация этого « продавливания» на рис. 3 поразительно напоминает хорошо известную геометрическую интерпретацию общей теории относительности Эйнштейна, описывающей как раз «геометрию гравитации».

А если учесть еще и присутствующую дискретизацию нашей картинки, воплощаемую дискретной целочисленной решеткой на плоскости, то мы и вовсе воочию наблюдаем «квантовую гравитацию»!

Вот на этой на этой мажорной «объединительной» физико-математической ноте и закончим нашу «кавалерийскую» попытку дать наглядное толкование «сверхабстрактного» доказательства Уайлса.

Теперь, пожалуй, следует подчеркнуть, что в любом случае, какое бы ни было правильное доказательство теоремы Ферма, оно обязательно должно их так или иначе использовать конструкции и логику доказательства Уайлса. Обойти все это просто невозможно по причине упомянутого «свойства минимальности» математических инструментов Уайлса, использованных для доказательства. В нашей «геометро-динамической» интерпретации этого доказательства это «свойство минимальности» обеспечивает «минимально необходимые условия» для корректного (т.е. «сходящегося») построения тестирующего алгоритма.

С одной стороны, это огромное огорчение для любителей-ферматистов (если, конечно, они про это узнают; как говорят, «меньше знаешь – лучше спишь»). С другой стороны, природная «неупрощаемость» доказательства Уайлса формально облегчает жизнь профессиональным математикам – они могут не читать периодически возникающие «элементарные» доказательства от любителей математики, ссылаясь на отсутствие соответствия с доказательством Уайлса.

Общий же вывод состоит в том, что и тем и другим надо «напрягаться» и понимать это «изуверское» доказательство, постигая по-сути «всю математику».

Что же еще важно не упустить, подводя итоги всей этой уникальной истории, свидетелями которой мы стали? Сила доказательства Уайлса в том, что оно является не просто формально-логическим рассуждением, а представляет широкий и мощный метод. Это творение представляет собой не отдельный инструмент для доказательства одного отдельно взятого результата, а прекрасный набор хорошо подобранных инструментов, позволяющий «раскалывать» самые разнообразные задачи. Принципиально важно и то, что посмотрев вниз с высоты небоскреба доказательства Уайлса, мы увидим и всю предшествующую математику. Пафос состоит в том, что это будет не «лоскутное», а панорамное видение. Все это говорит не только о научной, но и о методологической преемственности этого поистине магического доказательства. Осталось «всего-то ничего» - только его понять и научиться применять.

Интересно, чем сегодня занят наш герой-современник Уайлс? Об Эндрю никаких особых новостей нет. Он, естественно, получил различные награды и премии, включая ту самую знаменитую обесценившуюся во время первой гражданской войны премию немца Вольфскеля. За все время, прошедшее с момента триумфа доказательства проблемы Ферма до сегодняшних дней, мне удалось заметить только одну, правда как всегда большую, статью в тех же “Annals” (в соавторстве со Скиннером). Может Эндрю опять затаился в преддверии нового математического рывка, например, так называемой “abc”-гипотезы – недавно сформулированной (Массером и Остерле в 1986 году) и считающейся самой главной проблемой теории чисел на сегодняшний день (это «проблема столетия» по выражению Сержа Ленга).

Гораздо больше информации о соавторе Уайлса по завершающей части доказательства – Ричарде Тейлоре. Он был одним из четырех авторов доказательства полной гипотезы Таниямы-Шмуры-Вейля и серьезно претендовал на филдсовскую медаль на математическом конгрессе в Китае в 2002 году. Однако, не получил ее (тогда ее получили всего два математика – русский математик из Принстона Владимир Воеводский «за теорию мотивов» и француз Лоран Лафорг «за важную часть программы Ленглендса»). Тейлор опубликовал за это время немалое количество замечательных работ. И вот недавно, Ричард добился нового большого успеха - доказал очень известную гипотезу – гипотезу Тейта-Саито, также относящуюся к арифметической алгебраической геометрии и обобщающую результаты немецкого. математика 19-го века Г. Фробениуса и российского математика 20-го века Н. Чеботарева.

Давайте напоследок немного пофантазируем. Возможно, настанет время, когда курсы математики в вузах, и даже в школах, будут подстроены под методы доказательства Уайлса. Это означает, что Великая теорема Ферма станет не только модельной математической задачей, но и методологической моделью для преподавания математики. На ее примере можно будет изучать, по сути, все основные разделы математики. Более того, будущая физика, а может быть даже биология и экономика, станут опираться именно на этот математический аппарат. А вдруг?

Кажется, первые шаги в этом направлении уже сделаны. Об этом свидетельствует, например, то, что американский математик Серж Ленг включил в третье издание своего классического руководства по алгебре основные конструкции доказательства Уайлса. Еще дальше идут российские Юрий Манин и Алексей Панчишкин в упомянутом новом издании своей «Современной теории чисел», излагая детально само доказательство в контексте современной математики